onepool c model

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22altair%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22pandas%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22mcp%3D%3D1.26.0%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.20.4%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22%2C%20css_file%3D%22notebooks.css%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20warnings%0A%0A%20%20%20%20warnings.filterwarnings(%22ignore%22%2C%20message%3D%22.*is_pandas_dataframe.*%22)%0A%0A%20%20%20%20import%20altair%20as%20alt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20pandas%20as%20pd%0A%0A%20%20%20%20return%20alt%2C%20np%2C%20pd%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20%23%20default%20parameters%0A%0A%20%20%20%20I_default%20%3D%203.0%20%20%23%20t%20C%2Fha%2Fyr%20inputs%0A%20%20%20%20k_default%20%3D%200.1%20%20%23%201%2Fyr%20decomposition%20rate%20constant%0A%20%20%20%20C0_default%20%3D%200.0%20%20%23%20t%20C%2Fha%20initial%20soil%20carbon%0A%20%20%20%20t_max%20%3D%20200%20%20%23%20years%0A%20%20%20%20dt%20%3D%201%20%20%23%20year%20time%20step%0A%0A%20%20%20%20presets%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Banksia%20sand%22%3A%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22I%22%3A%202.0%2C%20%20%23%20t%20C%2Fha%2Fyr%20%E2%80%93%20low%20litter%2Broot%20inputs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22k%22%3A%200.07%2C%20%20%23%201%2Fyr%20%E2%80%93%20relatively%20fast%20effective%20turnover%20on%20sand%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22C0%22%3A%2025.0%2C%20%20%23%20t%20C%2Fha%20%E2%80%93%20near%20current%20SOC%20stock%20(0%E2%80%9330%20cm)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Jarrah%20laterite%22%3A%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22I%22%3A%203.0%2C%20%20%23%20t%20C%2Fha%2Fyr%20%E2%80%93%20higher%20inputs%20in%20forest%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22k%22%3A%200.05%2C%20%20%23%201%2Fyr%20%E2%80%93%20slower%20effective%20turnover%20with%20more%20MAOC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22C0%22%3A%2035.0%2C%20%20%23%20t%20C%2Fha%20%E2%80%93%20below%20equilibrium%2C%20allows%20%E2%80%9Crestoration%E2%80%9D%20story%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Pasture%22%3A%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22I%22%3A%202.5%2C%20%20%23%20t%20C%2Fha%2Fyr%20%E2%80%93%20fertilised%20pasture%20inputs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22k%22%3A%200.08%2C%20%20%23%201%2Fyr%20%E2%80%93%20relatively%20rapid%20turnover%20in%20disturbed%20soil%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22C0%22%3A%2015.0%2C%20%20%23%20t%20C%2Fha%20%E2%80%93%20degraded%20initial%20SOC%20stock%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20return%20C0_default%2C%20I_default%2C%20dt%2C%20k_default%2C%20presets%2C%20t_max%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20selector%0A%20%20%20%20system_selector%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Select%20Ecosystem%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%5B%22Default%22%2C%20%22Banksia%20sand%22%2C%20%22Jarrah%20laterite%22%2C%20%22Pasture%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Default%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(system_selector%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(dt%2C%20np%2C%20t_slider)%3A%0A%20%20%20%20%23%20build%20time%20vector%0A%0A%20%20%20%20years%20%3D%20np.arange(0%2C%20t_slider.value%20%2B%20dt%2C%20dt)%0A%0A%0A%20%20%20%20%23%20function%20to%20compute%20solution%20C(t)%20%3D%20C0%20x%20exp(-k%20t)%20%2B%20I%2Fk%20x%20(1%20-%20exp(-k%20t))%0A%20%20%20%20def%20cmodel(I%2C%20k%2C%20C0%2C%20t)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C%20%3D%20C0%20*%20np.exp(-k%20*%20t)%20%2B%20(I%20%2F%20k)%20*%20(1%20-%20np.exp(-k%20*%20t))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20C%0A%0A%20%20%20%20return%20cmodel%2C%20years%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(C0_slider%2C%20I_slider%2C%20cmodel%2C%20k_slider%2C%20pd%2C%20years)%3A%0A%20%20%20%20%23%20update%20function%20to%20compute%20and%20plot%20results%20based%20on%20user%20input%0A%0A%20%20%20%20C%20%3D%20cmodel(I_slider.value%2C%20k_slider.value%2C%20C0_slider.value%2C%20years)%0A%20%20%20%20%23%20print(f%22Year%3A%20%7Bt%3A.0f%7D%2C%20Soil%20Carbon%3A%20%7BC%3A.2f%7D%20t%20C%2Fha%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20create%20df%0A%20%20%20%20Ct_df%20%3D%20pd.DataFrame(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Year%22%3A%20years%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Soil%20Carbon%22%3A%20C%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22C%20input%22%3A%20I_slider.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Decomp%20flux%22%3A%20k_slider.value%20*%20C%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(Ct_df%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(Ct_df%2C%20I_slider%2C%20alt%2C%20k_slider%2C%20np%2C%20system_selector)%3A%0A%20%20%20%20%23%20plots%20and%20results%0A%0A%20%20%20%20chart%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(Ct_df)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_line(color%3D%22saddlebrown%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.X(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Year%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis%3Dalt.Axis(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Time%20(years)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20titleFontSize%3D16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20labelFontSize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20titlePadding%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Y(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Soil%20Carbon%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis%3Dalt.Axis(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Soil%20Carbon%20(t%20C%2Fha)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20titleFontSize%3D16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20labelFontSize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20titlePadding%3D20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dalt.Title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22C(t)%20with%20input%20I%20and%20loss%20kC%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontSize%3D20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontWeight%3D%22normal%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22black%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D273%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D225%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20chart2%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(Ct_df)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.transform_fold(%5B%22C%20input%22%2C%20%22Decomp%20flux%22%5D%2C%20as_%3D%5B%22Flux%22%2C%20%22Value%22%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_line()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.X(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Year%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis%3Dalt.Axis(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Time%20(years)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20titleFontSize%3D16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20labelFontSize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20titlePadding%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Y(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Value%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis%3Dalt.Axis(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Flux%20(t%20C%2Fha%2Fyr)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20titleFontSize%3D16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20labelFontSize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20titlePadding%3D20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.StrokeDash(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Flux%3AN%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22C%20input%22%2C%20%22Decomp%20flux%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%5B2%2C%202%5D%2C%20%5B1%2C%200%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3DNone%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Color(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Flux%3AN%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scale%3Dalt.Scale(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20domain%3D%5B%22C%20input%22%2C%20%22Decomp%20flux%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B%22green%22%2C%20%22red%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3Dalt.Legend(title%3D%22Flux%20type%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dalt.Title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Input%20vs%20Decomposition%20Flux%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontSize%3D20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontWeight%3D%22normal%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22black%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D273%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D225%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20steady%20state%2C%20residence%20time%2C%20and%20time%20to%20reach%2095%25%20of%20steady%20state%0A%20%20%20%20C_ss%20%3D%20I_slider.value%20%2F%20k_slider.value%0A%20%20%20%20tau%20%3D%201.0%20%2F%20k_slider.value%0A%20%20%20%20t_95%20%3D%20-np.log(0.05)%20%2F%20k_slider.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20interpretations%20for%20presets%0A%20%20%20%20interpretations%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Banksia%20sand%22%3A%20%22Fast%20turnover%20on%20sandy%20soil%2C%20weak%20stabilisation%20(POC-dominated).%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Jarrah%20laterite%22%3A%20%22Slower%20turnover%20on%20laterite%2C%20more%20MAOC%20and%20mineral%20protection.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Pasture%22%3A%20%22Disturbed%20system%20on%20ex-Banksia%2FJarrah%20land%3B%20inputs%20and%20k%20depend%20on%20management.%22%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20interp_text%20%3D%20interpretations.get(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20system_selector.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Custom%20scenario%20%E2%80%93%20relate%20%3Cb%3EI%3C%2Fb%3E%20and%20%3Cb%3Ek%3C%2Fb%3E%20to%20vegetation%20type%20and%20soil%20properties.%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20C_ss%2C%20chart%2C%20chart2%2C%20interp_text%2C%20t_95%2C%20tau%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23%23%20Soil%20Carbon%20Dynamics%20Model%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Soil%20carbon%20stocks%20reflect%20the%20balance%20between%20organic%20inputs%20and%20decomposition%20losses.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22This%20model%20uses%20a%20first-order%20kinetic%20equation%20where%20carbon%20input%20(I)%20is%20constant%20and%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22decomposition%20loss%20is%20proportional%20to%20the%20current%20stock%20(k%20%C3%97%20C)%2C%20so%20the%20system%20naturally%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22approaches%20a%20steady%20state%20at%20C%20%3D%20I%2Fk.%5Cn%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23%23%23%20Soil%20Carbon%20Model%20Explanation%22%3A%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22**The%20governing%20equation%3A**%5Cn%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24%24%5Cfrac%7BdC%7D%7Bdt%7D%20%3D%20I%20-%20kC%24%24%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22**Analytical%20solution%3A**%5Cn%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24%24C(t)%20%3D%20C_0%20%5C%2C%20e%5E%7B-kt%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BI%7D%7Bk%7D%5Cleft(1%20-%20e%5E%7B-kt%7D%5Cright)%24%24%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html('%3Cdiv%20style%3D%22height%3A%200.2em%3B%22%3E%3C%2Fdiv%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22where%20%24C(t)%24%20%3D%20soil%20carbon%20at%20time%20%24t%24%20(t%20C%2Fha)%2C%3Cbr%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24C_0%24%20%3D%20initial%20soil%20carbon%20(t%20C%2Fha)%2C%3Cbr%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24I%24%20%3D%20carbon%20input%20rate%20(t%20C%2Fha%2Fyr)%2C%3Cbr%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24k%24%20%3D%20decomposition%20rate%20constant%20(1%2Fyr)%2C%3Cbr%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%241%2Fk%24%20%3D%20residence%20time%20(yr)%2C%3Cbr%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22and%20%24I%2Fk%24%20%3D%20steady-state%20soil%20carbon.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html('%3Cdiv%20style%3D%22height%3A%200.5em%3B%22%3E%3C%2Fdiv%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22**How%20it%20works%3A**%20Carbon%20enters%20the%20soil%20at%20a%20constant%20rate%20%24I%24%20(from%20litter%2C%20roots%2C%20etc.)%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22and%20leaves%20through%20decomposition%20at%20a%20rate%20proportional%20to%20the%20current%20stock%20(%24k%20%5Ctimes%20C%24).%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22If%20the%20current%20stock%20is%20below%20steady%20state%20(%24C%20%3C%20I%2Fk%24)%2C%20losses%20are%20smaller%20than%20inputs%20and%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22the%20stock%20grows.%20If%20the%20stock%20is%20above%20steady%20state%20(%24C%20%3E%20I%2Fk%24)%2C%20losses%20exceed%20inputs%20and%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22the%20stock%20declines.%20Either%20way%2C%20the%20system%20converges%20on%20the%20steady%20state%20where%20input%20%3D%20loss.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22**Key%20assumptions%3A**%20The%20model%20treats%20all%20soil%20carbon%20as%20a%20single%20homogeneous%20pool%20(simplifying%20composition)%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22assumes%20constant%20%24I%24%20and%20%24k%24%20over%20time.%20In%20reality%2C%20%24k%24%20is%20modulated%20by%20stabilisation%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22mechanisms%20(mineral%20association%2C%20aggregation)%2C%20soil%20texture%2C%20moisture%2C%20temperature%2C%20and%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22microbial%20community%20composition%20%E2%80%94%20this%20is%20why%20the%20presets%20use%20different%20%24k%24%20values%20for%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22sands%20(weak%20protection%2C%20higher%20%24k%24)%20vs%20laterites%20(strong%20MAOC%20protection%2C%20lower%20%24k%24).%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%3Ch3%3E%3Cstrong%3ESelect%20ecosystem%20and%20adjust%20the%20sliders%3C%2Fh3%3E%3C%2Fstrong%3E%20Change%20input%20rate%2C%20decomposition%20constant%2C%20and%20initial%20carbon%20to%20see%20how%20quickly%20different%20soils%20converge%20on%20their%20steady%20state%2C%20and%20why%20some%20ecosystems%20store%20far%20more%20carbon%20than%20others.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(C0_default%2C%20I_default%2C%20k_default%2C%20mo%2C%20presets%2C%20system_selector%2C%20t_max)%3A%0A%20%20%20%20%23%20slider%20widgets%0A%0A%20%20%20%20I_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Input%20(t%20C%2Fha%2Fyr)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3DI_default%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20system_selector.value%20%3D%3D%20%22Default%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20presets%5Bsystem_selector.value%5D%5B%22I%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20k_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Decomposition%20Rate%20Constant%20(1%2Fyr)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D0.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dk_default%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20system_selector.value%20%3D%3D%20%22Default%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20presets%5Bsystem_selector.value%5D%5B%22k%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20C0_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Initial%20Soil%20Carbon%20(t%20C%2Fha)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D100.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3DC0_default%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20system_selector.value%20%3D%3D%20%22Default%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20presets%5Bsystem_selector.value%5D%5B%22C0%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20t_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Time%20(years)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dt_max%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20system_selector%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20I_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20k_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20C0_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20t_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20C0_slider%2C%20I_slider%2C%20k_slider%2C%20t_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20C0_slider%2C%0A%20%20%20%20C_ss%2C%0A%20%20%20%20I_slider%2C%0A%20%20%20%20chart%2C%0A%20%20%20%20chart2%2C%0A%20%20%20%20interp_text%2C%0A%20%20%20%20k_slider%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20system_selector%2C%0A%20%20%20%20t_95%2C%0A%20%20%20%20tau%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f'%3Ch3%20style%3D%22text-align%3A%20justify%22%3E%3Cb%3E%7Bsystem_selector.value%7D%3C%2Fb%3E%3C%2Fh3%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%3Cdiv%20style%3D%22text-align%3A%20justify%3B%20font-size%3A%2014px%3B%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Parameters%3A%20%3Cb%3E%20I%20%3D%20%7BI_slider.value%3A.1f%7D%20t%20C%2Fha%2Fyr%3C%2Fb%3E%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%3Cb%3Ek%20%3D%20%7Bk_slider.value%3A.2f%7D%201%2Fyr%2C%20%3C%2Fb%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%3Cb%3EC%5Cu2080%20%3D%20%7BC0_slider.value%3A.1f%7D%20t%20C%2Fha%3C%2Fb%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%3C%2Fdiv%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f'%3Cdiv%20style%3D%22text-align%3A%20justify%3B%20font-size%3A%2014px%3B%22%3E%7Binterp_text%7D%3C%2Fdiv%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html('%3Cdiv%20style%3D%22height%3A%202em%3B%22%3E%3C%2Fdiv%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bchart2%2C%20chart%5D%2C%20justify%3D%22center%22%2C%20gap%3D1)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22**Steady%20State**%3A%20%3Cbr%3E%7BC_ss%3A.1f%7D%20t%20C%2Fha%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22**Residence%20Time**%3A%20%3Cbr%3E%7Btau%3A.1f%7D%20years%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22**95%25%20Equilibration%20Time**%3A%20%3Cbr%3E%7Bt_95%3A.1f%7D%20years%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22**Current%20%24%5C%5CDelta%20C%24**%3A%20%3Cbr%3E%7BI_slider.value%20-%20k_slider.value%20*%20C0_slider.value%3A%2B.2f%7D%20t%20C%2Fha%2Fyr%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html('%3Cdiv%20style%3D%22height%3A%200.5em%3B%22%3E%3C%2Fdiv%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20left%20plot%20compares%20the%20constant%20carbon%20input%20with%20the%20decomposition%20flux%20%E2%80%94%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22these%20converge%20as%20the%20system%20approaches%20steady%20state.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20right%20plot%20shows%20how%20the%20soil%20carbon%20stock%20changes%20over%20time%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22rising%20or%20falling%20depending%20on%20whether%20the%20initial%20stock%20is%20below%20or%20above%20the%20steady%20state.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20show_answers%20%3D%20mo.ui.checkbox(label%3D%22Show%20Answers%22%2C%20value%3DFalse)%0A%20%20%20%20return%20(show_answers%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20show_answers)%3A%0A%20%20%20%20questions%20%3D%20%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%20Questions%0A%0A%20%20%20%201.%20**How%20do%20I%20and%20k%20individually%20control%20steady-state%20carbon%3F**%0A%20%20%20%20%20%20%20-%20Keep%20k%20%3D%200.10%20and%20increase%20I%20from%201.0%20to%205.0%20t%20C%2Fha%2Fyr.%20What%20happens%20to%20the%20steady-state%20stock%3F%0A%20%20%20%20%20%20%20-%20Now%20fix%20I%20%3D%203.0%20and%20decrease%20k%20from%200.15%20to%200.03.%20What%20happens%3F%0A%20%20%20%20%20%20%20-%20Which%20parameter%20has%20a%20bigger%20effect%20on%20long-term%20carbon%20storage%3F%0A%0A%20%20%20%202.%20**Why%20does%20initial%20carbon%20(C%E2%82%80)%20not%20affect%20the%20steady%20state%3F**%0A%20%20%20%20%20%20%20-%20Select%20Pasture%20(C%E2%82%80%20%3D%2015)%20and%20note%20the%20steady-state%20value.%20Now%20set%20C%E2%82%80%20%3D%2080%20with%20the%20same%20I%20and%20k.%0A%20%20%20%20%20%20%20-%20Does%20the%20steady%20state%20change%3F%20Why%20or%20why%20not%3F%0A%20%20%20%20%20%20%20-%20What%20*does*%20change%20when%20you%20start%20above%20vs.%20below%20steady%20state%3F%0A%0A%20%20%20%203.%20**Compare%20the%20three%20ecosystems%20%E2%80%94%20which%20stores%20the%20most%20carbon%20and%20why%3F**%0A%20%20%20%20%20%20%20-%20Select%20Banksia%20sand%2C%20Jarrah%20laterite%2C%20and%20Pasture%20in%20turn.%20Note%20each%20system's%20steady-state%20C%20and%20time%20to%2095%25.%0A%20%20%20%20%20%20%20-%20Which%20ecosystem%20reaches%20the%20highest%20steady%20state%3F%20Which%20gets%20there%20fastest%3F%0A%20%20%20%20%20%20%20-%20Relate%20your%20observations%20to%20the%20differences%20in%20I%20and%20k%20%E2%80%94%20what%20does%20this%20tell%20you%20about%20the%20controls%20on%20soil%20carbon%20storage%20in%20different%20landscapes%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20answers%20%3D%20%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Answers%0A%0A%20%20%20%201.%20**I%20and%20k%20controls%3A**%20Steady-state%20carbon%20is%20C_ss%20%3D%20I%2Fk.%20Increasing%20I%20from%201%20to%205%20at%20k%20%3D%200.10%20raises%20C_ss%20from%2010%20to%2050%20t%20C%2Fha%20%E2%80%94%20a%20linear%20relationship.%20Decreasing%20k%20from%200.15%20to%200.03%20at%20I%20%3D%203.0%20raises%20C_ss%20from%2020%20to%20100%20t%20C%2Fha%20%E2%80%94%20a%20hyperbolic%20relationship%2C%20so%20small%20reductions%20in%20k%20have%20increasingly%20large%20effects.%20Both%20matter%2C%20but%20reducing%20decomposition%20rate%20(e.g.%20through%20mineral%20stabilisation%20or%20cooler%2Fwetter%20conditions)%20can%20have%20a%20disproportionately%20large%20effect%20on%20carbon%20storage.%0A%0A%20%20%20%202.%20**Initial%20carbon%3A**%20The%20steady%20state%20C_ss%20%3D%20I%2Fk%20depends%20only%20on%20inputs%20and%20decomposition%20rate%2C%20not%20on%20where%20you%20start.%20Starting%20at%20C%E2%82%80%20%3D%2015%20or%20C%E2%82%80%20%3D%2080%20with%20the%20same%20I%20and%20k%20gives%20the%20same%20final%20stock.%20What%20changes%20is%20the%20*trajectory*%3A%20starting%20below%20steady%20state%2C%20the%20soil%20accumulates%20carbon%20(input%20%3E%20loss)%3B%20starting%20above%20it%2C%20the%20soil%20loses%20carbon%20(loss%20%3E%20input).%20The%20time%20to%20reach%2095%25%20of%20steady%20state%20(t_95%20%3D%20%E2%88%92ln(0.05)%2Fk%20%E2%89%88%203%2Fk)%20is%20also%20independent%20of%20C%E2%82%80.%20This%20illustrates%20that%20the%20steady%20state%20is%20an%20attractor%20%E2%80%94%20the%20system%20always%20converges%20there%20regardless%20of%20initial%20conditions.%0A%0A%20%20%20%203.%20**Ecosystem%20comparison%3A**%20Jarrah%20laterite%20(I%20%3D%203.0%2C%20k%20%3D%200.05)%20reaches%20C_ss%20%3D%2060%20t%20C%2Fha%20%E2%80%94%20the%20highest%2C%20because%20it%20combines%20moderate%20inputs%20with%20the%20slowest%20decomposition%20(mineral%20protection%20on%20laterite).%20Banksia%20sand%20(I%20%3D%202.0%2C%20k%20%3D%200.07)%20reaches%20C_ss%20%E2%89%88%2028.6%20t%20C%2Fha%20%E2%80%94%20lower%20inputs%20and%20faster%20turnover%20on%20sand%20mean%20less%20accumulation.%20Pasture%20(I%20%3D%202.5%2C%20k%20%3D%200.08)%20reaches%20C_ss%20%E2%89%88%2031.3%20t%20C%2Fha%20%E2%80%94%20moderate%20inputs%20but%20relatively%20rapid%20turnover%20in%20disturbed%20soil.%20Jarrah%20laterite%20also%20takes%20longest%20to%20reach%2095%25%20(~60%20yr%20vs%20~43%20yr%20for%20sand)%20because%20t_95%20%E2%89%88%203%2Fk%2C%20and%20slower%20k%20means%20slower%20convergence.%20The%20key%20insight%20is%20that%20soil%20carbon%20storage%20depends%20on%20both%20the%20quantity%20of%20inputs%20*and*%20how%20long%20carbon%20persists%20%E2%80%94%20stabilisation%20mechanisms%20(mineral%20association%2C%20aggregation)%20that%20lower%20k%20are%20just%20as%20important%20as%20increasing%20plant%20inputs.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(questions)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20show_answers%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(answers)%20if%20show_answers.value%20else%20mo.md(%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A